Hermite 曲线的算法与实现

摘要:本文主要介绍了一种自由曲线 Hermite 曲线的数学原理,并以此为依据构造了 Hermite 曲线的计算机算法,并在微软的 .net 框架下使用 GDI+ 实现。

关键字:合成曲线,Hermite曲线,C#,GDI+

一、数学原理
曲线是构建几何模型的最基本元素之一,主要分为解析曲线和合成曲线。解析曲线通常是先有曲线方程,然后才能把曲线画出来,这种方式对于曲线的构造者来说是非常复杂且不直观的,而且改变曲线的一些参数,设计者也无法立刻了解曲线形状会做怎样的变化。在作曲线设计时,设计者通常希望能先将大致形状用很直观的方式描绘出来,并能够很容易的依照所需要的形状作修改,因此合成曲线是比较合适的方式。

合成曲线通常以参数的形式来表现,是由设计者根据其设计的需求和几何信息,去“合成”出这条曲线。这样由设计者输入的几何数据,就是曲线的控制点。

一般的合成曲线,至少需要一个三次的参数式:

公式(1)

用向量表示为:

公式(2)

如何确定式中的参数,就形成了不同的合成曲线的构造方法。Hermite 曲线就是通过曲线的起点(P0)、终点(P1)、起点切向量(V0)和终点切向量(V1)来确定曲线的。改变这四个参数,就可以控制 Hermite 曲线的形状。图1就是构建 Hermite 曲线的示意图。

图1

当给定以上四个参数之后,如何来确定这条 Hermite 曲线呢?

首先将(2)式作一次微分得到:

公式(3)

然后将 u=0,u=1 代入(2)式和(3)式中,就可以得到参数式中的系数:

公式(4)

将(4)式作进一步整理,最后可以将 Hermite 曲线方程写成如下形式:

公式(5)

这就是 Hermite 曲线的参数方程。根据此方程,对于 P0=(-2,2),P1=(3,-1),V0=(8,10) 和 V1=(15,10) 这四个参数,可以构造如下的表格:

使用 Matlab 绘制此曲线,得到图2:

图2

但是在做曲线设计时,Hermite 曲线仍然存在不少问题,例如在建立 Hermite 曲线时设计者必须输入曲线两端切向量的大小和方向,这对设计者来讲仍然是不直观的。另外,Hermite 曲线不具有区域控制的能力,在建立 Hermite 曲线时提供的是个参数,改变任何一项输入,整条曲线的形状都会发生变化,设计者很难对其进行局部的、小范围的修改。

二、算法
有了以上的数学基础,构造算法就不是件困难的事情。
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/// 绘制Hermite曲线的核心方法
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/// 绘制曲线用的Pen对象
/// 起点坐标
/// 终点坐标
/// 起点切向量
/// 终点切向量
private void DrawHermite(Pen pen,Point p0, Point p1, Point v0, Point v1) {
// 计算出来的当前坐标
int x = p0.X;
int y = p0.Y;

// 计算出来的前一个坐标,使用该两个做标连成一条线,来绘制曲线
int preX, preY;

// 根据参数计算每个点的坐标,参数的增量为0.01
for (double i = 0.0; i < = 1.0; i = i + 0.01) { preX = x; preY = y; // 保存计算中间结果,避免重复计算,提高算法效率 double i2 = i * i; double i3 = i2 * i; double express = 3 * i2 - 2 * i3; // 计算横坐标和纵坐标 x = (int)((1 - express) * p0.X + express * p1.X + (i - 2 * i2 + i3) * v0.X + (i3 - i2) * v1.X); y = (int)((1 - express) * p0.Y + express * p1.Y + (i - 2 * i2 + i3) * v0.Y + (i3 - i2) * v1.Y); // 画线 this.drawingSurface.DrawLine(pen, preX, preY, x, y); } this.drawingSurface.DrawLine(pen, x, y, p1.X, p1.Y); } 三、使用 GDI+ 实现 在 .net 框架下,使用 GDI+ 实现这个算法是件轻松的事情。但是在编程过程中仍然出现了几个问题。 首先,如何确定两个起点和两个切向量。本程序采用了如下的方法:先选定一个点,然后拉出一条直线,以该点为起点(或终点)并以该直线的方向和长度作为起点(或终点)切向量的方向和大小。 其次,本程序可以实现类似 PhotoShop 中的钢笔功能。所以有一个如何产生拉动的效果的问题。这对这个问题使用了两种不同的解决方法:1、对于画曲线,使用了两个画笔,一个用于绘制,一个用于擦除。当鼠标移动的时候,就会使用绘制的画笔绘制新曲线,并用擦除画笔擦除刚才的曲线。但该方法会导致另一个问题,就是当该曲线覆盖到其他线条上之后,当曲线离开后,该线条就会有部分被擦掉。但是想解决这个问题是很困难的。(不知道 PhotoShop 是如何实现的。)2、画直线的时候,使用了 GDI+ 中自带的一个 ControlPaint.DrawReversibleLine() 方法,该方法可以自己解决以上的问题。 第三、像这样一遍一遍的重画和擦除,会很占用系统资源,但是没有什么更好的解决方法,从网上找到的文章来看,如果复写(Override)OnMouseDown, OnMouseMove 和 OnMouseUp 事件,会比处理此三个事件的方法要来得效率高一些,因此本程序的所有事件全部采用了这种方法。下面的这段代码,是复写了 OnMouseMove 事件,用于处理当鼠标按下左键移动的时候,产生的拉动效果。 protected override void OnMouseMove(MouseEventArgs e) { // 判断当鼠标移动的时候是否有鼠标左键按下 if (e.Button == MouseButtons.Left) { // isContinuedDrawing 是个标志变量,标志所产时的动作是否为了画第二个参量 if (!isContinedDrawing) { endPoint[0].X = e.X; endPoint[0].Y = e.Y; // 使用 ControlPaint 画直线 ControlPaint.DrawReversibleLine(PointToScreen(startPoint[0])PointToScreen(previousPoint), Color.Black); ControlPaint.DrawReversibleLine(PointToScreen(startPoint[0]), PointToScreen(endPoint[0]), Color.Black); previousPoint = endPoint[0]; } else { endPoint[1].X = e.X; endPoint[1].Y = e.Y; ControlPaint.DrawReversibleLine(PointToScreen(startPoint[1]), PointToScreen(previousPoint), Color.Black); Point _v0 = new Point(); _v0.X = endPoint[0].X - startPoint[0].X; _v0.Y = endPoint[0].Y - startPoint[0].Y; Point _v1 = new Point(); _v1.X = previousPoint.X - startPoint[1].X; _v1.Y = previousPoint.Y - startPoint[1].Y; // 擦除以前的曲线 this.DrawHermite(erasePen,startPoint[0], startPoint[1], _v0, _v1); // 画新的曲线 ControlPaint.DrawReversibleLine(PointToScreen(startPoint[1]), PointToScreen(endPoint[1]), Color.Black); _v1.X = endPoint[1].X - startPoint[1].X; _v1.Y = endPoint[1].Y - startPoint[1].Y; this.DrawHermite(drawPen,startPoint[0], startPoint[1], _v0, _v1); previousPoint = endPoint[1]; } } // 调用父类中的 OnMouseOver 事件三 base.OnMouseMove(e); } 四、程序截图 五、参考文献 台湾元智大學機械系大三機械設計課程教材